Question

袋中裝有m個紅球和n個白球，m＞n≥4，現從中任取兩球，若取出的兩球是同色的概率等于取出的兩球是異色的概率，則滿足關系m+n≤40的數組（m，n）的個數為（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

分析：首先求出取出兩個球顏色相同的概率，再求出取出兩個球的顏色不同（即兩個球的顏色是一紅一白）的概率，即可得到方程（m-n）²=m+n，再結合題中的條件求出m-n的取值是3，4，5，6，進而得到相應m+n的取值分別是9，16，25，36，再結合m＞n≥4求出答案．

解答：解：由題意可得：取出兩個球顏色相同即兩個球都是紅色或者都是白色，
因為取出兩個紅球的不同取法有

C

2 n

=

n(n-1)

2

，故取出兩個紅球的概率為

C 2 n

C 2 m+n

．
因為取出兩個白球的不同取法有

C

2 m

=

m(m-1)

2

，故取出兩個紅球的概率為 

C 2 m

C 2 m+n

．
所以取出兩個球顏色相同的概率等于

C 2 n + C  2 m

C 2 m+n

．
取出兩個球的顏色不同即兩個球的顏色是一紅一白，可得：取出一紅一白兩個球的概率為

m×n

C 2 m+n

．
故有

C 2 n + C  2 m

C 2 m+n

=

m×n

C 2 m+n

，化簡可得（m-n）²=m+n．
因為m＞n≥4，所以m+n＞8，又因為m+n≤40，故2

2

＜m-n≤

40

，故

m-n=3 m+n=9

，或 

m-n=4 m+n=16

，或 

m-n=5 m+n=25

，或 

m-n=6 m+n=36

．
解得 

m=6 n=3

（舍去），或 

m=10 n=6

，或

m=15 n=10

，或 

m=21 n=15

．
故滿足條件的數組（m，n）的個數為3，
故選A．

點評：本題主要考查等可能事件的概率公式與排列、組合、計數原理的有關問題，解決此題的關鍵是挖掘題中的隱含條件以及熟練掌握組合數與排列數的計算公式，此題對學生運用所學知識靈活解決問題的能力要求較高，考查學生的計算能力，此題屬于中檔題目．