Question

已知定義在R上的單調函數,存在實數,使得對于任意實數,總有恒成立。
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若,且對任意正整數,有, ,求數列{a_n}的通項公式；
(Ⅲ)若數列{b_n}滿足，將數列{b_n}的項重新組合成新數列，具體法則如下：……，求證：。

Answer 1

（Ⅰ）   （Ⅱ） (Ⅲ)見解析

(Ⅰ)令，得，①
令，得，，②
由①、②得，又因為為單調函數，……（2分）
(Ⅱ)由（1）得，


，……（3分）
……（4分）
，，……（5分）
……（6分）
(Ⅲ)由{C_n}的構成法則可知，C_n應等于{b_n}中的n項之和，其第一項的項數為
[1+2+…+(n－1)]+1=+1，即這一項為2×[+1]－1=n(n－1)+1
C_n=n(n－1)+1+n(n－1)+3+…+n(n－1)+2n－1=n²(n－1)+=n³……（8分）

當時，……（12分）
……（14分）
解法2：