Question

定義在R上的函數，，當x＞0時，，且對任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）·f（b）.
（1）求證：f（0）=1；
（2）求證：對任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）求證：f（x）是R上的增函數；
（4）若f（x）·f（2x－x²）＞1，求x的取值范圍.

Answer 1

略

抽象函數問題要充分利用“恒成立”進行“賦值”，從關鍵等式和不等式的特點入手。
（1）證明：令a=b=0，則f（0）=f ²（0）.
又f（0）≠0，∴f（0）=1.
（2）證明：當x＜0時，－x＞0，
∴f（0）=f（x）·f（－x）=1.
∴f（－x）=＞0.又x≥0時f（x）≥1＞0，
∴x∈R時，恒有f（x）＞0.
（3）證明：設x₁＜x₂，則x₂－x₁＞0.
∴f（x₂）=f（x₂－x₁+x₁）=f（x₂－x₁）·f（x₁）.
∵x₂－x₁＞0，∴f（x₂－x₁）＞1.
又f（x₁）＞0，∴f（x₂－x₁）·f（x₁）＞f（x₁）.
∴f（x₂）＞f（x₁）.∴f（x）是R上的增函數.
（4）解：由f（x）·f（2x－x²）＞1，f（0）=1得f（3x－x²）＞f（0）.又f（x）是R上的增函數，
∴3x－x²＞0.∴0＜x＜3.