Question

已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點為F₁、F₂，過點F₁斜率為正數的直線交Γ與A、B兩點，且AB⊥AF₂，|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差數列．
（Ⅰ）求Γ的離心率；
（Ⅱ）若直線y=kx（k＜0）與Γ交于C、D兩點，求使四邊形ABCD面積S最大時k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓定義及已知條件，有|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a，|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，|AF₂|²+|AB|²=|BF₂|²，由此能求出橢圓Γ的離心率．
（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程為x²+2y²=a²．，設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）（x₁＜x₂），則C、D坐標滿足

x2+2y2=a2 y=kx

，由此得x₁=-

a

1+2k2

，x₂=

a

1+2k2

．由此能求出求使四邊形ABCD面積S最大時k的值．

解答：解：（Ⅰ）根據橢圓定義及已知條件，有
|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a，①
|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，②
|AF₂|²+|AB|²=|BF₂|²，③…（3分）
由①、②、③，解得|AF₂|=a，|AB|=

4

3

a，|BF₂|=

5

3

a，
所以點A為短軸端點，b=c=

2

2

a，
Γ的離心率e=

c

a

=

2

2

．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程為x²+2y²=a²．
不妨設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）（x₁＜x₂），
則C、D坐標滿足

x2+2y2=a2 y=kx

，
由此得x₁=-

a

1+2k2

，x₂=

a

1+2k2

．
設C、D兩點到直線AB：x-y+

2

2

a=0的距離分別為d₁、d₂，
因C、D兩點在直線AB的異側，則
d₁+d₂=

(x2-x1)-(y2-y1)

2

=

(1-k)(x2-x1)

2

=

2 (1-k)a

1+2 k2

．…（8分）
∴S=

1

2

|AB|（ d₁+d₂）
=

1

2

•

4

3

a•

2 (1-k)a

1+2k2

=

2 2 a2

3

 • 

1-k

1+2 k2

．
設t=1-k，則t＞1，

(1-k )2

1+2k2

=

t2

2t2-4t+3

=

1

2- 4 t +  3 t2

，
當

1

t

=

2

3

，即k=-

1

2

時，

(1-k)2

1+2k2

最大，進而S有最大值．…（12分）

點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．