Question

已知向量

.

m

=（cosωx，sinωx），

.

n

=（cosωx，2

3

cosωx-sinωx），ω＞0，函數f（x）=

.

m

•

.

n

+|

.

m

|，且函數f（x）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為

π

2

（1）作出函數y=f（x）-1在[0，π]上的圖象
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，f（A）=2，c=2，S_△ABC=

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據向量的數量積的坐標表示，利用二倍角公式，兩角和的正弦函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，根據范圍通過列表等畫出函數的圖象；
（2）由已知f（A）=2結合已知A的范圍可求A，利用三角形的面積公式可求b，然后利用余弦定理求出a

解答：解（1）∵f（x）=

m

•

n

+|

m

|=cos²ωx+2

3

sinωxcosωx-sin²?x+1
=cos2ωx+

3

sin2ωx+1=2sin（2ωx+

π

6

）+1
由題意知T=π，又T=

2π

2ω

=π，
∴ω=1，f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，f（x）-1=2sin（2x+

π

6

）
列表：

2x+ π 6	π 6	π 2	π	3π 2	2π	13π 6
x	0	π 6	5π 12	2π 3	11π 12	π
y	1	2	0	-2	0	1

描點作圖，函數f（x）在[0，π]上的圖象如圖所示．


（2）f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1=2，
∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜2π+

π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

，
∴b=1，
∴a²=b²+c²-2bccosA=1+4-2×2×1×

1

2

=3
∴a=

3

．

點評：本題考查了二倍角、輔助角公式的應用及由函數y=Asin（ωx+∅）的圖象確定函數的解析式，三角形的面積公式、余弦定理等知識的綜合應用