Question

給出下列五個命題，其中正確命題的序號為

⑤

．
①函數y=|sin（2x+

π

3

）-

1

3

|的最小正周期是

π

2

；
②函數y=sin（x-

3π

2

）在區間[π，

3π

2

]上單調遞減；
③直線x=

5π

4

是函數y=sin（2x+

5π

2

）的圖象的一條對稱軸；
④函數y=sinx+

4

sinx

，x∈（0，π）的最小值是4；
⑤函數y=tan

x

2

-cscx的一個對稱中心為點（π，0）．

Answer 1

分析：①檢驗f（x+

π

2

）=|sin（2x+π+

π

3

）-

1

3

|=|sin（2x+

1

3

π）+

1

3

|≠f（x）可判斷①
②y=sin（x-

3π

2

）=cosx在區在區間[π，

3

2

π]上單調遞增，可判斷②
③根據正弦函數與余弦函數在對稱軸處取得函數的最值，把x=

5π

4

代入到函數y=sin（2x+

5π

2

）=cos2x進行檢驗，可判斷③
④由x∈（0，π）可得0＜sinx≤1，結合函數y=sinx+

4

sinx

 的單調性可判斷④
⑤、先設函數y=tan

x

2

-cscx上任意一點M（x，y）關于點（π，0）對稱的點N（x′，y′），

x=2π-x′ y=-y′

，代入到y=tan

x

2

-cscx中可求對稱函數-y′=tan(π-

1

2

x′)-csc（2π-x′），可判斷⑤

解答：解：∵f（x+

π

2

）=|sin（2x+π+

π

3

）-

1

3

|=|sin（2x+

1

3

π）+

1

3

|≠f（x），而f（x+π）=|sin（2x+2π+

π

3

）-

1

3

|=|sin（2x+

π

3

）-

1

3

|=f（x），則函數的最小正周期是π，故①錯誤
②y=sin（x-

3π

2

）=cosx在區在區間[π，

3

2

π]上單調遞增，故②錯誤
③x=

5π

4

時，函數y=sin（2x+

5π

2

）=cos2x的值為0，不是最值點，不符合對稱軸的性質，故③錯誤
④∵x∈（0，π）
∴0＜sinx≤1
y=sinx+

4

sinx

在sinx=1時取得最小值5
∴y的最小值不是4，故④錯誤
⑤設函數y=tan

x

2

-cscx上任意一點M（x，y）關于點（π，0）對稱的點N（x′，y′）
則

x+x′=2π y+y′=0

，即

x=2π-x′ y=-y′

代入到y=tan

x

2

-cscx中可得-y′=tan(π-

1

2

x′)-csc（2π-x′）
∴y′=tan

1

2

x′-cscx′，即函數y=tan

x

2

-cscx的圖象關于點（π，0）對稱，故⑤正確
故答案為：⑤

點評：本題主要考查了三角函數的周期的判斷，三角函數的誘導公式及函數的單調性的應用，函數的單調性在函數的最值求解中的應用及三角函數的對稱性的應用，屬于函數知識的綜合應用