Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

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與x=1時都取得極值．
（1）求a、b的值與函數f（x）的單調區間；
（2）若對x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因為函數在x=-

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與x=1時都取得極值，所以得到f′（-

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）=0且f′（1）=0聯立解得a與b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后討論導函數的正負得到函數的增減區間；
（2）根據（1）函數的單調性，由于x∈[-1，2]恒成立求出函數的最大值值為f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c²列出不等式，求出c的范圍即可．

解答：解；（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f'（x）=3x²+2ax+b
由

f′(- 2 3 )= 12 9 - 4 3 a+b=0 f′(1)=3+2a+b=0

解得，

a=- 1 2 b=-2

f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函數f（x）的單調區間如下表：

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數f（x）的遞增區間是（-∞，-

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）和（1，+∞），遞減區間是（-

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，1）．
（2）f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c，x∈[-1， 2]，
當x=-

2

3

時，f（x）=

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+c為極大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c為最大值．
要使f（x）＜c²對x∈[-1，2]恒成立，須且只需c²＞f（2）=2+c．
解得c＜-1或c＞2．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，利用導數研究函數單調性的能力，以及理解函數恒成立時所取到的條件．