Question

（1）對于定義在（0，+∞）上的函數f（x），滿足xf′（x）+2f（x）＜0，求證：函數y=x²f（x）在（0，+∞）上是減函數；
（2）請你認真研讀（1）中命題并聯系以下命題：若f（x）是定義在（0，+∞）上的可導函數，滿足xf′（x）+f（x）＜0，則y=xf（x）是（0，+∞）上的減函數．然后填空建立一個普遍化的命題：設f（x）是定義在（0，+∞）上的可導函數，n∈N₊，若

x

×f′（x）+n×f（x）＜0，則

y=xⁿf（x）

是（0，+∞）上的減函數．
注：命題的普遍化就是從考慮一個對象過渡到考慮包含該對象的一個集合；或者從考慮一個較小的集合過渡到考慮包含該較小集合的更大集合．
（3）證明（2）中建立的普遍化命題．

Answer 1

分析：（1）當x＞0時，用x乘以xf′（x）+2f（x）＜0，得[x²f（x）]′＜0，即得證；
（2）考查類比推理，若x×f′（x）+n×f（x）＜0，則y=xⁿf（x）是（0，+∞）上的減函數；
（3）利用導數來證明函數的單調性．

解答：（1）證明：當x＞0時，用x乘以xf′（x）+2f（x）＜0，得[x²f（x）]′＜0，
所以，函數y=x²f（x）在（0，+∞）上是減函數；…（4分）
（2）類比（1）可知，設f（x）是定義在（0，+∞）上的可導函數，n∈N₊，
若x×f′（x）+n×f（x）＜0，則y=xⁿf（x）是（0，+∞）上的減函數；…．（4分）
（3）證明：由于f（x）是定義在（0，+∞）上的可導函數，n∈N₊，
則x^n-1＞0，
若x×f′（x）+n×f（x）＜0，則x^n-1[x×f′（x）+n×f（x）]=[xⁿf（x）]′＜0，
所以y=xⁿf（x）是（0，+∞）上的減函數．…（4分）

點評：主要考查函數求導法則及函數單調性與導數的關系，屬于中檔題．