Question

（2011•上海模擬）設不等式x²-1＜log_ax（a＞0，且a≠1）的解集為M，若（1，2）⊆M，則實數a的取值范圍是

1＜a≤2

1

3

．

Answer 1

分析：先確定a＞1，再考慮兩個函數 f（x）=x²-1 和 g（x）=log_ax，f（x）是二次函數，log_ax是對數函數，只要f（2）≤g（2），那么就能保證f（x）＜g（x）在1＜x＜2時恒成立，由此可確定實數a的取值范圍．

解答：解：根據題意 不等式在1＜x＜2時恒成立
若a＜1，則x²-log_ax-1 是單調遞增的，∴x=2時，3-log_a2＜0 不合題意．
所以a＞1
此時考慮兩個函數 f（x）=x²-1 和 g（x）=log_ax，f（x）是二次函數，log_ax是對數函數，
故只要f（2）≤g（2），那么就能保證f（x）＜g（x）在1＜x＜2時恒成立
∴3-log_a2≤0
∴a³ ≤2
∴a≤2

1

3

∴1＜a≤2

1

3

故答案為：1＜a≤2

1

3

點評：本題考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．