Question

已知函數y=b+a x2+x（a、b是常數且a＞0，a≠1）在區間[-

3

2

，0]上有最大值3，最小值

5

2

．
（1）試求a和b的值．
（2）a＜1時，令m=a^b，n=log_ab，k=b^a，比較m、n、k的大小．

Answer 1

分析：（1）令u=x²+2x=（x+1）²-1，x∈[-

3

2

，0]，利用二次函數的性質求得u的最值，分①當a＞1時，
②當0＜a＜1時兩種情況，求得a、b的值．
（2）a＜1時，m=(

2

3

)

3

2

，n=log

2

3

3

2

，k=(

3

2

)

2

3

．再利用指數函數的單調性可得m、n、k的大小．

解答：解：（1）令u=x²+2x=（x+1）²-1，x∈[-

3

2

，0]，
∴當x=-1時，u_min=-1   當x=0時，u_max=0．（2分）
①當a＞1時，

b+a0=3 b+a-1= 5 2

，解得

a=2 b=2

．（5分）
②當0＜a＜1時，

b+a-1=3 b+a0= 5 2

，解得

a= 2 3 b= 3 2

．　（8分）
綜上得

a=2 b=2

，或

a= 2 3 b= 3 2

．（9分）
（2）a＜1時，m=(

2

3

)

3

2

，n=log

2

3

3

2

，k=(

3

2

)

2

3

．（10分）
∵m=(

2

3

)

3

2

＜(

2

3

)0=1，n=-1，k=(

3

2

)

2

3

＞(

3

2

)0=1，（13分）
又∵m＞0，∴n＜m＜k．　　（14分）

點評：本題主要考查復合函數的單調性，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．