Question

已知 c＞0，設命題p：指數函數y=-（2c-1）^x在實數集R上為增函數，命題q：不等式x+（x-2c）²＞1在R上恒成立．若命題p或q是真命題，p且q是假命題，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：根據指數函數的性質求出命題p中c的范圍，由二次函數的性質，求出命題q中c的范圍，再由命題p或q是真命題，p且q是假命題，可知p和q有一個為真命題，分類討論，從而求解；

解答：解：當p正確時，∵函數y=-（2c-1）^x在R上為增函數∴0＜2c-1＜1，
∴當p為正確時，

1

2

＜c＜1
當q正確時，
∵不等式x+（x-2c）²＞1的解集為R，
∴當x∈R時，x²-（4c-1）x+（4c²-1）＞0恒成立．
∴△=（4c-1）²-4•（4c²-1）＜0，∴-8c+5＜0
∴當q為正確時，c＞

5

8

由題設，若p和q有且只有一個正確，則
（1）p正確q不正確，

1 2 ＜c＜1 0＜c≤ 5 8

∴

1

2

＜c≤

5

8

------（9分）
（2）q正確p不正確，

0＜c≤ 1 2 或c≥1 c＞ 5 8

∴c≥1
∴綜上所述，若p和q有且僅有一個正確，c的取值范圍是(

1

2

--（14分）

點評：此題主要考查指數函數的圖象及其性質以及二次函數的恒成立問題，利用了分類討論的思想，分兩種情況進行求解，計算的結果要求并；