Question

已知定點A(－1，0)，F(xiàn)(2，0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.設點P的軌跡為E，過點F的直線交E于B、C兩點，直線AB、AC分別交l于點M、N
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點F，并說明理由

Answer 1

解：(1)設P(x,y)，則
化簡得x2－=1(y≠0)…………………………………………4分
(2)①當直線BC與x軸不垂直時，設BC的方程為y＝k(x－2)(k≠0)
與雙曲線x2－=1聯(lián)立消去y得
(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0
由題意知3－k2≠0且△＞0
設B(x1,y1),C(x2,y2)，
則
y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]
＝k2(＋4)
＝
因為x1、x2≠－1
所以直線AB的方程為y＝(x＋1)
因此M點的坐標為()
,同理可得
因此
＝
＝0
②當直線BC與x軸垂直時，起方程為x＝2，則B(2,3),C(2,－3)
AB的方程為y＝x＋1,因此M點的坐標為()，
同理可得
因此＝0
綜上＝0，即FM⊥FN
故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點F

解析