Question

如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內的兩個測點C與D．測得∠BDC=30°，CD=30米，并在點C測得塔頂A的仰角為60°，
（1）若測得∠BCD=15°，求塔高AB；
（2）若∠BCD=θ，且15°＜θ＜105°，求AB的范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據三角形內角和為180°，求得∠CBD，再根據正弦定理求得BC，進而在Rt△ABC中，根據AB=BCtan∠ACB求得AB；
（2）同（1）表示出AB，再根據15°＜θ＜105°，即可求AB的范圍．

解答：解：（1）在△BCD中，∠CBD=180°-15°-30°=135°．
由正弦定理得

BC

sin30°

=

30

sin135°

，
∴BC=15

2

．
在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=15

2

×

3

=15

6

；
（2）在△BCD中，∠CBD=150°-θ，
由正弦定理得BC=

15

sin(150°-θ)

，
在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=

15 3

sin(150°-θ)

，
∵15°＜θ＜105°，
∴45°＜150°-θ＜135°，
∴

2

2

＜sin（150°-θ）≤1，
∴1≤

1

sin(150°-θ)

＜

2

，
∴15

3

≤AB＜15

6

．

點評：本題考查了解三角形的實際應用，考查三角函數知識考查學生的計算能力，屬于中檔題．