Question

（2012•嘉定區三模）設向量

a

=(x ， 2)，

b

=(x+n ， 2x-1)（n∈N^*），函數y=

a

•

b

在x∈[0，1]上的最小值與最大值的和為a_n，又數列{b_n}滿足b₁=1，b1+b2+…+bn=(

9

10

)n-1．
（1）求證：a_n=n+1；
（2）求數列{b_n}的通項公式；
（3）設c_n=-a_n•b_n，試問數列{c_n}中，是否存在正整數k，使得對于任意的正整數n，都有c_n≤c_k成立？若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函數y=

a

•

b

在x∈[0，1]上的最小值與最大值的和為a_n，結合向量數量積公式，可得結論；
（2）再寫一式，兩式相減，即可求數列{b_n}的通項公式；
（3）由題意，c_k為{c_n}的最大項，則k≥2，要使c_k為最大值，則

ck≥ck-1 ck≥ck+1

，解不等式，即可求得k的取值．

解答：（1）證明：由已知，y=x（x+n）+2（2x-1）=x²+（4+n）x-2…（2分）
而函數y在x∈[0，1]上是增函數，…（3分）
所以a_n=-2+1+4+n-2=n+1．…（4分）
（2）解：因為b1+b2+…+bn=(

9

10

)n-1，
所以b1+b2+…+bn-1=(

9

10

)n-2（n≥2），…（6分）
兩式相減，得b_n=-

1

10

•(

9

10

)n-2（n≥2）．…（8分）
所以，數列{b_n}的通項公式為b_n=

1，n=1 - 1 10 •( 9 10 )n-2，n≥2

…（10分）
（3）解：因為c₁=-a₁•b₁=-2＜0，c_n=-a_n•b_n=

n+1

10

•(

9

10

)n-2＞0（n≥2），…（12分）
由題意，c_k為{c_n}的最大項，則k≥2，
要使c_k為最大值，則

ck≥ck-1 ck≥ck+1

 …（13分）
即

k+1 10 •( 9 10 )k-2≥ k 10 •( 9 10 )k-3 k+1 10 •( 9 10 )k-2≥ k+2 10 •( 9 10 )k-1

   …（14分）
解得k=9或k=8． …（15分）
所以存在k=8或9，使得c_n≤c_k成立．…（16分）

點評：本題考查數列與向量的綜合，考查數列的通項，考查恒成立問題，求得數列的通項是關鍵．