Question

已知函數，（，為自然對數的底數）.

（1）當時，求的單調區間；

（2）對任意的，恒成立，求的最小值；

（3）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）函數的單調減區間為單調增區間為；（2）實數的最小值為；

（3）實數的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）把代入函數的解析式，直接利用導數求函數在定義域上的單調區間；（2）利用參數分離法將問題中的不等式等價轉化為在上恒成立，即，進而求出參數的取值范圍，從而求出的最小值；（3）先利用導數求出函數在上的值域，利用導數研究函數的單調性，并求出方程的唯一根，將條件“對于任意給定的

，在總存在兩個不同的，使得”轉化為“函數在區間上存在唯一極值點，即，且函數在區間和區間上的值域均包含函數在區間上的值域”，從而列出相應的不等式進行求解參數的取值范圍.

試題解析：（1）當時，，，

由，，由，，

故的單調減區間為，單調增區間為；

（2）即對，恒成立，

令，，則，

再令，，，

在上為減函數，于是，

從而，，于是在上為增函數，，

故要恒成立，只要，即的最小值為；

（3），當時，，函數單調遞增，

當時，，函數單調遞減，

，，，

所以，函數在上的值域為.

當時，不合題意；

當時，，，

故，，     ①

此時，當變化時，、的變化情況如下：

	單調減	最小值	單調增

，，，，

所以，對任意給定的，在區間上總存在兩個不同的，

使得成立，當且僅當滿足下列條件

，即 

令，，

，令，得，

當時，，函數單調遞增，

當時，，函數單調遞減，

所以，對任意，有，

即②對任意恒成立，

由③式解得：，    ④

綜合①④可知，當時，對任意給定的，

在總存在兩個不同的，使得成立.

考點：1.函數的單調區間；2.不等式恒成立；3.參數分離法；4.函數值域的包含關系