Question

設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+t∈D，且f（x+t）≥f（x），則稱f（x）為M上的t高調函數．如果定義域為R的函數f（x）是奇函數，當x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）為R上的4高調函數，那么實數a的取值范圍是

-1≤a≤1

．

Answer 1

分析：根據分段函數的意義，對f（x）的解析式分段討論，可得其分段的解析式，結合其奇偶性，可得其函數的圖象；進而根據題意中高調函數的定義，可得若f（x）為R上的4高調函數，則對任意x，有f（x+4）≥f（x），結合圖象分析可得4≥4a²；解可得答案．

解答：解：根據題意，當x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，
則當x≥a²時，f（x）=x-2a²，
0≤x≤a²時，f（x）=-x，
由奇函數對稱性，有則當x≤-a²時，f（x）=x+2a²，
-a²≤x≤0時，f（x）=-x，
圖象如圖：易得其圖象與x軸交點為M（-2a²，0），N（2a²，0）
因此f（x）在[-a²，a²]是減函數，其余區間是增函數．
f（x）為R上的4高調函數，則對任意x，有f（x+4）≥f（x），
故當-2a²≤x≤0時，f（x）≥0，為保證f（x+4）≥f（x），必有f（x+4）≥0；即x+4≥2a²；
有-2a²≤x≤0且x+4≥2a²可得4≥4a²；
解可得：-1≤a≤1；
故答案為-1≤a≤1．

點評：考查學生的閱讀能力，很應用知識分析解決問題的能力，考查數形結合的能力，用圖解決問題的能力，屬中檔題．