Question

(本小題滿分12分) 已知圓過兩點,且圓心在上．

(1)求圓的方程；

(2)設是直線上的動點，是圓的兩條切線，為切點，求四邊形面積的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1) (x－1)²＋(y－1)²＝4. (2) S＝2＝2＝2.

【解析】

試題分析：（1）根據題意，設出圓心（a,b），然后圓過兩點,其中垂線必定過圓心，且圓心在上．聯立直線的方程組得到交點坐標即為圓心坐標，進而兩點距離公式求解半徑，得到圓的方程。

（2）因為四邊形PAMB的面積S＝S_△PAM＋S_△PBM=|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，根據兩個三三角形的底相同，高相等，那么即可知S＝2|PA|，只需要求解切線長|PA|的最小值即可。

解：(1)設圓的方程為：(x－a)²＋(y－b)²＝r²(r>0)．

根據題意，得           ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分

解得a＝b＝1，r＝2，                            ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分

故所求圓M的方程為(x－1)²＋(y－1)²＝4.           ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分

(2)因為四邊形PAMB的面積S＝S_△PAM＋S_△PBM＝|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，

又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，  所以S＝2|PA|，      ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分而|PA|＝＝，   即S＝2.

因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，

即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點P，使得|PM|的值最小，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分

所以|PM|_min＝＝3，                   ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分

所以四邊形PAMB面積的最小值為S＝2＝2＝2.  ﹍﹍﹍12分

考點：本試題主要是考查了圓的方程的求解以及運用切線長和圓的半徑和圓心到圓外一點的距離的勾股定理的關系可知，求解四邊形面積的最值的問題就是轉換為解三角形面積的最值的運用。

點評：結合該試題的關鍵是理解圓心和半徑是求解圓的方程核心，同時直線與圓相切時，構成的四邊形的面積問題，能否轉化為一條切線和一個半徑以及一個圓心到圓外一點P的三角形的面積的最值,最終化簡為只需要求解切線長|PA|的最小值即可。。