Question

已知有窮數列{a_n}共有2k項（整數k≥2），首項a₁=2，設該數列的前n項和為S_n，且S_n=（n=1，2，3，…，2k-1），其中常數a＞1．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若a=，數列{b_n}滿足b_n=，（n=1，2，3，…，2k），求證：1≤b_n≤2；
（3）若（2）中數列{b_n}滿足不等式：|b₁-|+，求k的最大值．

Answer 1

解：（1）S_n=①，S _n+1=②
②-①得，S _n+1-S_n=a _n+1=
化簡整理得，a_n+2=a•a_n+1，=a（ n≥1）
又由已知a₁=S₁=，整理得出a₂=a•a₁
∴數列{a_n}是以a為公比，以2為首項的等比數列，
通項公式為a_n=2×a ^n-1．

（2）由（1）得a_n=2a^n-1，
∴a₁a₂a_n=2ⁿa^{1+2+…+（n-1）}=2ⁿ=，
b_n=（n=1，2，，2k）．
∵2k-1≤n-1∴
即1≤b_n≤2；

（3）設b_n≤，解得n≤k+，又n是正整數，于是當n≤k時，b_n＜；
當n≥k+1時，b_n＞．
原式=（ -b₁）+（ -b₂）+…+（ -b_k）+（b_k+1-）+…+（b_2k-）
=（b_k+1+…+b_2k）-（b₁+…+b_k）
==．
當 ≤4，得k²-8k+4≤0，4-2 ≤k≤4+2 ，又k≥2，
∴當k=2，3，4，5，6，7時，原不等式成立．
k的最大值為7．
分析：（1）要根據Sn與an的固有關系a_n=，得出a_n+2=a•a _n+1，再考慮的值，判定{a_n}的性質去求解．
（2）首先利用（1）的結論和條件獲得a_n的表達式，然后對a₁a_2…a_n進行化簡，結合對數運算即可獲得數列{b_n}的通項公式；
（3）首先利用分類討論對 的大小進行判斷，然后對所給不等式去絕對值，即可找到關于k的不等式，進而問題即可獲得解答．
點評：本題考查的是數列與不等式的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了分類討論的思想、對數運算的知識以及絕對值和解不等式的知識．值得同學們體會和反思．