Question

選做題：（甲、乙兩題任選一題作答）
甲、如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為a，側棱長為

2

a．
（Ⅰ）建立適當的坐標系，并寫出點A、B、A₁、C₁的坐標；
（Ⅱ）求AC₁與側面ABB₁A₁所成的角

乙、如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a(0＜a＜

2

)．
（Ⅰ）求MN的長；
（Ⅱ）當a為何值時，MN的長最小；
（Ⅲ）當MN長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角α的大小．

Answer 1

分析：甲、（I）由題意及圖形建立空間直角坐標系，得出點的坐標；
    （II）利用向量知識得到MC₁⊥面ABB₁A₁，在有線面角的定義，在三角形中得到所求的線面角的大小
乙、（I）由題意作MP∥AB交BC于點P，利用條件可以得到MNQP是平行四邊形，進而求得求MN的長；
     （II）由（I），利用二次函數求出線段MN的長取最值時的a的值及此時M，N的位置；
      （III）取中點，利用等腰三角形得到垂直，利用二面角平面角的定義得到二面角的平面角，然后再三角形中解出角的大小即可．

解答：甲、解：（1）如圖，以點A為坐標原點O，
以AB所在直線為Oy軸，以AA₁所在直線為Oz軸，
以經過原點且與平面ABB₁A₁垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標系．
由已知，得A（0，0，0），B（0，a，0），
A1(0，0，

2

a)，C1(-

3

2

a，

a

2

，

2

a)
（2）坐標系如上．取A₁B₁的中點M，
于是有M(0，

a

2

，

2

a)，
連AM，MC₁有

MC1

=(-

3

2

a，0，0)，
且

AB

=(0，a，0)，

AA1

=(0，0，

2

a)
由于

MC1

•

AA1

=0，

MC1

•

AA1

=0
所以，MC₁⊥面ABB₁A₁
∴AC₁與AM所成的角就是AG₁與側面ABB₁A₁所成的角．
∵

AC1

=(-

3

2

a，

a

2

，

2

a)，

AM

=( 0，

a

2

，

2

a)
∴

AC1

•

AM

=0+

a2

4

+2a2=

9

4

a2
而|

AC1

|=

3a2 4 + a2 4 +2a2

=

3

a
|

AM

|=

a2 4 +2a2

=

3

2

a
∴cos＜

AC1

，

AM

＞=

9 4 a2

3 a• 3 2 a

=

3

2

所以，

AC1

與

AM

所成的角，
即AC₁與側面ABB₁A₁所成的角為30°
乙、解：（1）作MP∥AB交BC于點P，
NQ∥AB交BE于點Q，連接PQ，依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，
即MNQP是平行四邊形．
∴MN=PQ由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，
∴

AC=BF= 2 CP 1 = a 2 ， BQ 1 = a 2

即CP=BQ=

a

2

∴MN=PQ=

(1-CP)2+BQ2

=

(1- a 2 )2+( a 2 )2

=

(a- 2 2 )2+ 1 2

(0＜a＜

2

)
（2）由（1）MN=

(a- 2 2 )2+ 1 2

所以，當a=

2

2

時，MN=

2

2

即M，N分別移動到AC，BF的中點時，
MN的長最小，最小值為

2

2

（3）取MN的中點G，連接AG、BG，
∵AM=AN，BM=BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，
∴∠AGB即為二面角α的平面角．
又AG=BG=

6

4

，
所以由余弦定理有cosα=

( 6 4 )2+( 6 4 )2-1

2• 6 4 • 6 4

=-

1

3

．
故所求二面角α=arccos(-

1

3

)．

點評：甲：此題重點考查了利用條件恰當建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，還考查了利用向量證明線面垂直，還考查了線面角的知識；
乙：此題重點考查了學生的空間想象能力及方程的思想，還考查了由線線平行得三角形相似，進而線段成比例進而在三角形中解出MN的長，此時MN的長是用a表示的．還考查了利用一元二次函數的值域求出最小值及對應的M，N的位置，此外還考查了二面角的平面角的概念及在三角形中求解出角的大小及利用反三角函數表示角的大小．