Question

（2012•湖南）某公司一下屬企業從事某種高科技產品的生產．該企業第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產，到當年年底資金增長了50%．預計以后每年年增長率與第一年的相同．公司要求企業從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產．設第n年年底企業上繳資金后的剩余資金為a_n萬元．
（Ⅰ）用d表示a₁，a₂，并寫出a_n+1與a_n的關系式；
（Ⅱ）若公司希望經過m（m≥3）年使企業的剩余資金為4000萬元，試確定企業每年上繳資金d的值（用m表示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可求得a₁=2000（1+50%）-d，a₂=a₁（1+50%）-d=，…從而歸納出a_n+1=

3

2

a_n-d．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=

3

2

a_n-1-d=

3

2

（

3

2

a_n-2-d）-d=…=(

3

2

)n-1a₁-d[1+

3

2

+(

3

2

)2+…+(

3

2

)n-2]，利用等比數列的求和公式可求得a_n=(

3

2

)n-1（3000-3d）+2d，再結合題意a_m=4000，
即可確定企業每年上繳資金d的值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得：a₁=2000（1+50%）-d=3000-d，
a₂=a₁（1+50%）-d=

3

2

a₁-d=4500-

5

2

d，
…
a_n+1=a_n（1+50%）-d=

3

2

a_n-d．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=

3

2

a_n-1-d
=

3

2

（

3

2

a_n-2-d）-d
=(

3

2

)2a_n-2-

3

2

d-d
=…
=(

3

2

)n-1a₁-d[1+

3

2

+(

3

2

)2+…+(

3

2

)n-2]
整理得：a_n=(

3

2

)n-1（3000-d）-2d[(

3

2

)n-1-1]
=(

3

2

)n-1（3000-3d）+2d．
由題意，a_m=4000，即(

3

2

)m-1（3000-3d）+2d=4000．
解得d=

[( 3 2 )m-2] ×1000

( 3 2 )m-1

=

1000(3m-2m+1)

3m-2m

，
故該企業每年上繳資金d的值為

1000(3m-2m+1)

3m-2m

時，經過m（m≥3）年企業的剩余資金為4000萬元．

點評：本題考查數列的應用，著重考查歸納思想的運用，求得a_n+1=

3

2

a_n-d是關鍵，遞推關系的綜合應用是難點，突出轉化與運算能力的考查，屬于難題．