Question

（本小題滿分16分）定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界.
已知函數；.
（1）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；
（2）若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數的取值范圍；
（3）若，函數在上的上界是，求的取值范圍.

Answer 1

解：（1）當時， 
因為在上遞減，所以，即在的值域為 故不存在常數，使成立
所以函數在上不是有界函數。   ……………4分
（2）由題意知，在上恒成立。………5分
，         
∴  在上恒成立………6分
∴   ………7分
設，，，由得 t≥1，
設，

所以在上遞減，在上遞增，………9分
在上的最大值為， 在上的最小值為 
所以實數的取值范圍為。…………………………………10分
（3），
∵   m>0 ，     ∴ 在上遞減，………12分
∴      即………13分
①當，即時，， ………12分
此時 ，………14分
②當，即時，，
此時 ， 
綜上所述，當時，的取值范圍是；
當時，的取值范圍是………16分

略