Question

已知{a_n}是公差d大于零的等差數列，對某個確定的正整數k，有a₁²+a_k+1²≤M（M是常數）．
（1）若數列{a_n}的各項均為正整數，a₁=2，當k=3時，M=100，寫出所有這樣數列的前4項；
（2）若數列{a_n}的各項均為整數，對給定的常數d，當數列由已知條件被唯一確定時，證明a₁≤0；
（3）求S=a_k+1+a_k+2+…+a_2k+1的最大值及此時數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據當k=3時，M=100，d是正整數，建立關系式，即可求出d的值，從而求出數列的前4項；
（2）由題意得2a₁²+2kda₁+（kd）²-M≤0（*），令f（a₁）=2a₂¹+2kda₁+（kd）²-M，因為d，k均是正數，所以對稱軸，開口向上，從而確定a₁的范圍；
（3）設a_k+1=x，則S=（k+1）x+，轉化成關于x的二次函數求最值，從而求出此時數列{a_n}的通項公式．
解答：解：（1）因為d是正整數，由2²+（2+3d）²≤100得，d=1或2．…（2分）
所求的數列為2，3，4，5或2，4，6，8．…（4分）
（2）由題意得2a₁²+2kda₁+（kd）²-M≤0（*）．…（5分）
令f（a₁）=2a₂¹+2kda₁+（kd）²-M，
因為d，k均是正數，所以對稱軸，開口向上，…（6分）
①當（kd）²-M＞0時，若（*）有整數解，則必有a₁＜0．…（8分）
②當（kd）²-M≤0時，若（*）只有一個整數解，則必有a₁=0．…（10分）
（3）設a_k+1=x，則S=（k+1）x+，所以kd=…（12分）
M≥，…（13分）
故M≥，即S≤，…（14分）
當S=時，x=，d=，…（15分）
此時，所以S的最大值為．…（16分）
由，所以，…（17分）
此時．…（18分）
點評：本題主要考查了數列與函數的綜合運用，同時考查了利用二次函數求最值，屬于中檔題．