Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，對一切正整數n，點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+2x的圖象上，記a_n與a_n+1的等差中項為k_n．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（Ⅲ）設集合，等差數列{c_n}的任意一項c_n∈A∩B，其中c₁是A∩B中的最小數，且110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通項公式．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+2x的圖象上，可得，再寫一式，兩式相減，即可求得數列{a_n}的通項公式；
（II）先確定數列的通項，再利用錯位相減法求數列的和；
（III）先確定A∩B=B，再確定{c_n}是公差為4的倍數的等差數列，利用110＜c₁₀＜115，可得c₁₀=114，由此可得{c_n}的通項公式．
解答：解：（I）∵點P_n（n，S_n）都在函數f（x）=x²+2x的圖象上，∴，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1．…（2分）
當n=1時，a₁=S₁=3滿足上式，
所以數列{a_n}的通項公式為a_n=2n+1．…（3分）
（II）∵k_n為a_n與a_n+1的等差中項
∴…（4分）
∴．
∴①
由①×4，得②
①-②得：=
∴…（8分）
（III）∵
∴A∩B=B
∵c_n∈A∩B，c₁是A∩B中的最小數，∴c₁=6．
∵{c_n}是公差為4的倍數的等差數列，∴．…（10分）
又∵110＜c₁₀＜115，∴，解得m=27．
所以c₁₀=114，
設等差數列的公差為d，則，…（12分）
∴c_n=6+（n+1）×12=12n-6，
∴c_n=12n-6．…（13分）
點評：本題考查數列與函數的關系，考查數列的通項與求和，正確運用求和公式是關鍵．