Question

（1）寫出下列函數的單調區間：①y=-x²+2|x|+1；②y=|-x²+2x+3|
（2）函數f(x)=

ax2+1，x≥0 (a2-1)eax，x＜0

在R上單調，則a的取值范圍是

（-∞，-

2

]∪（1，

2

]

．

Answer 1

分析：（1）由題意去掉絕對值可化函數為分段函數，分別求其單調區間可得；
（2）分類討論：函數在R上單調遞減，可得

a＜0 a2-1＞0 (a2-1)e0≥1

，函數在R上單調遞增，可得

a＞0 a2-1＞0 (a2-1)e0≤1

，解不等式可得a的范圍．

解答：解：（1）①當x≥0時，y=-x²+2|x|+1=y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，
此時函數在[0，1]單調遞增，在[1，+∞）是上單調遞減．
當x＜0時，y=-x²+2|x|+1=y=-x²-2x+1=-（x+1）²+2，
此時函數在[-1，0）單調遞減，在（-∞，-1）是上單調遞增．
∴函數的增區間為[0，1]和（-∞，-1），函數的減區間為[-1，0）和[1，+∞）．
②原函數可化為：y=|-x²+2x+3|=|x²-2x-3|，
當x²-2x-3≥0，即x≥3或x≤-1，y=|x²-2x-3|=x²-2x-3，
此時可得函數在[3，+∞）單調遞增，在（-∞，-1]單調遞減，
當x²-2x-3＜0，即-1＜x＜1，y=|x²-2x-3|=-x²+2x+3，
此時可得函數在（-1，1]單調遞增，在[1，3）單調遞減，
∴函數的增區間為[3，+∞）和（-1，1]，函數的減區間為（-∞，-1]和[1，3）
（2）若函數在R上單調遞減，則

a＜0 a2-1＞0 (a2-1)e0≥1

，解得a≤-

2

，
若函數在R上單調遞增，則

a＞0 a2-1＞0 (a2-1)e0≤1

，解得1＜a≤

2

，
∴a的取值范圍是（-∞，-

2

]∪（1，

2

]
故答案為：（-∞，-

2

]∪（1，

2

]

點評：本題考查函數的單調性的判斷與證明，涉及函數單調性的性質，屬中檔題．