Question

在數列中，，且對任意.，，成等差數列，其公差為。

（Ⅰ）若=，證明，，成等比數列（）

（Ⅱ）若對任意，，，成等比數列，其公比為。 證明：對任意,,有

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】（Ⅰ）證明：由題設，可得。

所以

=

=2k(k+1)

由=0，得

于是。

所以成等比數列。

（Ⅱ）證法一：（i）證明：由成等差數列，及成等比數列，得

當≠1時，可知≠1，k

從而

所以是等差數列，公差為1。

（Ⅱ）證明：，，可得，從而=1.由（Ⅰ）有

所以

因此，

以下分兩種情況進行討論：

（1）   當n為偶數時，設n=2m()

若m=1,則.

若m≥2，則

+

所以

(2)當n為奇數時，設n=2m+1（）

所以從而···

綜合（1）（2）可知，對任意,,有

證法二：（i）證明：由題設，可得

所以

由可知。可得，

所以是等差數列，公差為1。

（ii）證明：因為所以。

所以，從而，。于是，由（i）可知所以是公差為1的等差數列。由等差數列的通項公式可得= ，故。

從而。

所以，由，可得

。

于是，由（i）可知

以下同證法一。