Question

已知：圓O₁過點（0，1），并且與直線y=-l相切，則圓O₁的軌跡為C，過一點A（l，1）作直線l，直線l與曲線C交于不同兩點M、N，分別在M、N兩點處作曲線C的切線l₁，l₂，直線l₁，l₂的交點為K．
（I）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）求證：直線l₁，l₂的交點K在一條直線上，并求出此直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用拋物線的定義即可得出；
（Ⅱ）利用導數的幾何意義得到切線的斜率，聯立切線的方程即可得到其交點K的坐標，再把直線MN的方程與拋物線的方程聯立，得到根與系數的關系，代入交點K的消去參數即可得到交點K的軌跡方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意和拋物線的定義可得：曲線C的軌跡是拋物線：x²=4y．
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線MN的方程為：y-1=k（x-1）．
由x²=4y，得到，
∴過點M處的切線方程為，化為x₁x=2（y+y₁），
同理在點N處的切線方程為x₂x=2（y+y₂），
解得K點的坐標為．
聯立得到x²-4kx+4k-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=4k-4．
∴x_K=2k，y_k=k-1，
消去k得到點K所在的直線方程為：x-2y-2=0．
點評：熟練掌握圓錐曲線的定義、導數的幾何意義、點斜式、直線與拋物線相交問題的解題模式、根與系數的關系是解題的關鍵．