Question

某同學用《幾何畫板》研究拋物線的性質：打開《幾何畫板》軟件，繪制某拋物線，在拋物線上任意畫一個點，度量點的坐標，如圖．

（Ⅰ）拖動點，發現當時，，試求拋物線的方程；

（Ⅱ）設拋物線的頂點為，焦點為，構造直線交拋物線于不同兩點、，構造直線、分別交準線于、兩點，構造直線、．經觀察得：沿著拋物線，無論怎樣拖動點，恒有.請你證明這一結論．

（Ⅲ）為進一步研究該拋物線的性質，某同學進行了下面的嘗試：在（Ⅱ）中，把“焦點”改變為其它“定點”，其余條件不變，發現“與不再平行”．是否可以適當更改（Ⅱ）中的其它條件，使得仍有“”成立？如果可以，請寫出相應的正確命題；否則，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）設出直線方程，點的坐標，聯立方程組證明，所以

（Ⅲ）設拋物線的頂點為，定點，過點的直線與拋物線相交于、兩點，直線、分別交直線于、兩點，則

【解析】

試題分析：解法一：（Ⅰ）把，代入，得，          2分

所以，                                                                3分

因此，拋物線的方程．                                              4分

（Ⅱ）因為拋物線的焦點為，設，

依題意可設直線，

由得，則 ①                      6分

又因為，，所以，，

所以，，                         7分

又因為                                   8分

，  ②

把①代入②，得，                                   10分

即，

所以，

又因為、、、四點不共線，所以．                        11分

（Ⅲ）設拋物線的頂點為，定點，過點的直線與拋物線相交于、兩點，直線、分別交直線于、兩點，則 ．                                                             14分

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因為拋物線的焦點為，設，                5分

依題意,可設直線，

由得，

則

所以                                                         7分

又因為，，

所以，，                                            10分

所以，，  

又因為、、、四點不共線，所以.                          11分

（Ⅲ）同解法一.                                                            14分

解法三：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因為拋物線的焦點為，設，

依題意，設直線，

由得，則，                         6分

又因為，，所以，，

又因為，                9分

所以，所以平行于軸；

同理可證平行于軸；

又因為、、、四點不共線，所以.                         11分

（Ⅲ）同解法一.                                                           14分

考點：本小題主要考查拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系．

點評：圓錐曲線問題在高考中每年必考，且一般出在壓軸題的位置上，難度較低，主要考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、分類與整合思想、數形結合思想等。