Question

（選作題）定義在（-1，1）上的函數y=f（x）滿足：對任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；
（2）如果當x∈（-1，0）時，有f（x）＞0，求證：f（x）在（-1，1）上是單調遞減函數；
（3）在（2）的條件下解不等式：f(x+

1

2

)+f(

1

1-x

)＞0．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0 可求得f（0）=0；令y=-x代入f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)可判斷f（x）的奇偶；
（2）設-1＜x₁＜x₂＜1，利用f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f(

x1-x2

1-x1•x2

)，分析判斷出-1＜

x1-x2

1-x1•x2

＜0，再結合條件即可證明結論；
（3）利用（1）f（x）為奇函數與（2）f（x）在（-1，1）上是單調遞減函數將f(x+

1

2

)+f(

1

1-x

)＞0轉化為f(x+

1

2

) ＞f(

1

x-1

)，脫掉f，化為不等式組解之即可．

解答：解：（1）f（x）為奇函數．
  令x=y=0，代入f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)有，
  2f（0）=f（0），f（0）=0；
  令y=-x，代入f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)得：
  f（x）+f（-x）=f（0）=0，（xy≠-1，由定義域易知其滿足）
∴f（x）=-f（-x），得證．
（2）設-1＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f(

x1-x2

1-x1•x2

)，
由題設知，必有-1＜

x1-x2

1-x1•x2

＜1
又x₁-x₂＜0，由x₁，x₂∈（-1，1），可得-x₁•x₂∈（-1，1），所以1-x₁•x₂＞0，
所以-1＜

x1-x2

1-x1•x2

＜0，又x∈（-1，0）時f（x）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f(

x1-x2

1-x1•x2

)＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
即f（x）在（-1，1）上是減函數；
（3）∵f(x+

1

2

)+f(

1

1-x

)＞0，f（x）為奇函數，
∴f(x+

1

2

) ＞f(

1

x-1

)，函數y=f（x）定義在（-1，1）上，f（x）在（-1，1）上是單調遞減函數，
∴

-1＜x+ 1 2 ＜ 1 -1＜ 1 x-1 ＜1 x+ 1 2 ＜ 1 x-1

解得：-

3

2

＜x＜-1
∴不等式的解集為：{x|-

3

2

＜x＜-1}．

點評：本題考查函數的性質，難點在于第（2）問函數單調性的證明中-1＜

x1-x2

1-x1•x2

＜0的分析，級第（3）解不等式組，綜合考查學生的分析，計算及正確推理的能力，是難題．