Question

設m，n∈N，f（x）=（1+2x）^m+（1+x）ⁿ．
（Ⅰ）當m=n=2011時，記f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹，求a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₁；
（Ⅱ）若f（x）展開式中x的系數是20，則當m、n變化時，試求x²系數的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，令x=-1，結合f（x）的表達式，可得f（-1）與a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₁的關系，進而可得答案；
（Ⅱ）根據二項式定理，可得x的系數是2C_m¹+C_n¹=2m+n，結合題意，可得m、n的關系，又結合二項式定理可得x²的系數為2²C_m²+C_n²=4m²-41m+190；由二次函數的性質，分析可得答案．

解答：解：（Ⅰ）在f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₂₀₁₁x²⁰¹¹中，
令x=-1，得f（-1）=a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₁，
又有f（-1）=（1-2）²⁰¹¹+（1-1）²⁰¹¹，
則a₀-a₁+a₂-…-a₂₀₁₁=-1，
（Ⅱ）因為2C_m¹+C_n¹=2m+n=20，所以n=20-2m，
則x²的系數為2²C_m²+C_n²=4×

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=2m2-2m+

1

2

(20-2m)(19-2m)=4m²-41m+190；
所以當m=5，n=10時，f（x）展開式中x²的系數最小，最小值為85．

點評：本題考查二項式定理的運用，解此類題目注意賦值法的運用，令x=0或±1是常見的賦值思路．