Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在軸上，離心率為，且點在該橢圓上。

（I）求橢圓C的方程；

（II）過橢圓C的左焦點的直線與橢圓C相交于A，B兩點，若的面積為，求圓心在原點O且與直線相切的圓的方程。

 

Answer 1

【答案】

（I）設橢圓C的方程為，由題意可得   ,                            

又，所以                            ……………2分

因為橢圓C經過（1，），代入橢圓方程有        

解得                                                ……………4分

所以 ，故橢圓C的方程為  .    ……………5分

（Ⅱ）解法一：

當直線軸時，計算得到：，

，不符合題意.          ……………6分

當直線與軸不垂直時，設直線的方程為：,

由，消去y ，得    …………7分

顯然成立，設，

則                         ……………8分

又

                       ……………9分

即

又圓的半徑                        ……………10分

所以……………11分

化簡，得，即，

解得（舍）                                      ……………12分

所以，，故圓的方程為：.           ……………13分

（Ⅱ）解法二：

設直線的方程為 ，

由，消去x，得                ……………7分

因為恒成立，設，

則                            ……………8分

所以

                  ……………9分

所以

化簡得到，即，

解得（舍）                                    …………11分

又圓的半徑為                      ……………12分

所以，故圓的方程為：           ……………13分.

【解析】略