Question

．（本小題共13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（Ⅱ）若直線：與曲線交于，兩點(diǎn)，在曲線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，求出此時(shí)直線的斜率；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，，        ………1分
即 ，                  ……………………3分
化簡得．
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為．            ……………………5分
（Ⅱ）因?yàn)橹本�：與曲線相交于，兩點(diǎn)，
所以 ，
所以或．            ……………………7分
假設(shè)存在點(diǎn)，使得．                 ……………………8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823201701801300.png" style="vertical-align:middle;" />，在圓上，且，
由向量加法的平行四邊形法則可知四邊形為菱形，
所以與互相垂直且平分，                     …………9分
所以原點(diǎn)到直線：的距離為．…………10分
即 ，解得， ，經(jīng)驗(yàn)證滿足條件．……………………12分
所以存在點(diǎn)，使得．                   ……………………13分

略