Question

（2012•太原模擬）某高中社團進行社會實踐，對[25，55]歲的人群隨機抽取n人進行了一次是否開通“微博”的調查，若開通“微博”的稱為“時尚族”，否則稱為“非時尚族”，通過調查分別得到如圖所示統計表和各年齡段人數頻率分布直方圖：

完成以下問題：
（Ⅰ）補全頻率分布直方圖并求n，a，p的值；
（Ⅱ）從[40，50）歲年齡段的“時尚族”中采用分層抽樣法抽取18人參加網絡時尚達人大賽，其中選取3人作為領隊，記選取的3名領隊中年齡在[40，45）歲的人數為X，求X的分布列和期望E（X）..

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據所求矩形的面積和為1求出第二組的頻率，然后求出高，畫出頻率直方圖，求出第一組的人數和頻率從而求出n，由題可知，第二組的頻率以及人數，從而求出p的值，然后求出第四組的頻率和人數從而求出a的值；
（Ⅱ）因為[40，45）歲年齡段的“時尚族”與[45，50）歲年齡段的“時尚族”的比值為2：1，所以采用分層抽樣法抽取18人，[40，45）歲中有12人，[45，50）歲中有6人，機變量X服從超幾何分布，X的取值可能為0，1，2，3，分別求出相應的概率，列出分布列，根據數學期望公式求出期望即可．

解答：解：（Ⅰ）第二組的頻率為1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，
所以高為

0.3

5

=0.06．
頻率直方圖如下：

（2分）
第一組的人數為

120

0.6

=200，頻率為0.04×5=0.2，所以n=

200

0.2

=1000．
由題可知，第二組的頻率為0.3，所以第二組的人數為1000×0.3=300，
所以p=

195

300

=0.65．
第四組的頻率為0.03×5=0.15，所以第四組的人數為1000×0.15=150，
所以a=150×0.4=60．（5分）
（Ⅱ）因為[40，45）歲年齡段的“時尚族”與[45，50）歲年齡段的“時尚族”的比值
為60：30=2：1，所以采用分層抽樣法抽取18人，[40，45）歲中有12人，[45，50）歲中有6人．（6分）
隨機變量X服從超幾何分布．P(X=0)=

C 0 12 C 3 6

C 3 18

=

5

204

，P(X=1)=

C 1 12 C 2 6

C 3 18

=

15

68

，P(X=2)=

C 2 12 C 1 6

C 3 18

=

33

68

，P(X=3)=

C 3 12 C 0 6

C 3 18

=

55

204

．
所以隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	5 204	15 68	33 68	55 204

（10分）
∴數學期望EX=0×

5

204

+1×

15

68

+2×

33

68

+3×

55

204

=2
（或者 EX=

12×3

18

=2）．（12分）

點評：本題主要考查了頻率分布直方圖，離散型隨機變量的分布列和數學期望，同時考查了超幾何分布的概念和計算能力，屬于中檔題．