Question

已知函數f（x）=x³-ax²-a²x．
（Ⅰ）若x=1時函數f（x）有極值，求a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調增區間；
（Ⅲ）若方程f（x）=0有三個不同的解，分別記為x₁，x₂，x₃，證明：f（x）的導函數f′（x）的最小值為f′(

x1+x2+x3

3

)．

Answer 1

分析：（I）求出導函數，令極值點處的導數值為0，列出分成求出a的值，代入驗證極值點左右兩邊的導數符號是否相反．
（II）令導函數等于0求出根，通過討論a的范圍確定出兩個根的大小，令導函數大于0，求出單調遞增區間．
（III）利用二次方程的韋達定理得到

x1+x2+x3

3

的值，利用（II）得到函數的極小值，得證．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3x²-2ax-a²
∵當x=1時，f（x）有極值，
∴f'（1）=0
即3-2a-a²=0
∴a=1或a=-3
經檢驗a=1或a=-3符合題意
（Ⅱ）令f'（x）=0即3x²-2ax-a²=0
解得x=a或x=-

a

3

（1）當a＞0時，-

a

3

＜a
∴x＜-

a

3

或x＞a時，f′(x)＞0，f(x)為增函數
∴f（x）的單調增區間為(-∞，-

a

3

)和(a，+∞)
（2）當a=0時，-

a

3

=a=0
∴f（x）的單調增區間為（-∞，+∞）
（3）當a＜0時，-

a

3

＞a
∴x＞-

a

3

或x＜a時，f′(x)＞0，f(x)為增函數
∴f（x）的單調增區間為(-∞，a)和(-

a

3

，+∞)
（Ⅲ）∵f（x）=x（x²-ax-a²）
∴x=0是f（x）的一個零點，設x₁x₂是方程x²-ax-a²=0的兩根，
∴x₁+x₂=a

x1+x2+x3

3

=

a

3

又知當x=

a

3

時f′(x)=3x2-2ax-a2取得最小值f′(

a

3

)
即函數y=f'（x）的最小值為f′(

x1+x2+x3

3

)

點評：利用導數求函數的極值問題，要注意極值點處的導數為0是函數有極值的必要不充分條件；利用導數判斷函數的單調區間，導函數大于0求出單調遞增區間；導函數小于0求出單調遞減區間．