Question

已知橢圓x²+2y²=4，AB為橢圓的弦且以M（1，1）為中點，求以AB為直徑的圓的方程．

Answer 1

分析：先設出直線AB的方程，根據AB為橢圓的弦且以M（1，1）為中點求出k，從而可求出線段AB的長得到半徑，而圓心為點M，從而求出圓的方程．

解答：解：由題意得，斜率存在，設為 k，則直線l的方程為 y-1=k（x-1），即 kx-y+1-k=0，
代入橢圓的方程化簡得（1+2k²）x²+（4k-4k²）x+2k²-4k-2=0，
∴x₁+x₂=

4k2-4k

1+2k2

=2，解得 k=-

1

2

，
∴x₁x₂=

1

3

AB=

1+ 1 4

•

(x1+x2)  2-4x1x2

=

30

3

∴以AB為直徑的圓的圓心為（1，1）半徑為

30

6

，圓的方程為（x-1）²+（y-1）²=

點評：本題考查圓的方程，直線和圓的方程的應用，考查轉化思想，函數與方程的思想，是中檔題．