Question

設向量

a

=（1，cos2θ），

b

=（2，1），

c

=（4sinθ，1），

d

=（

1

2

sinθ，1）．
（1）若θ∈（0，

π

4

），求

a

•

b

-

c

•

d

的取值范圍；
（2）若θ∈[0，π），函數f（x）=|x-1|，比較f（

a

•

b

）與f（

c

•

d

）的大小．

Answer 1

分析：（1）根據向量的數量積的坐標表示可求，

a

•

b

-

c

•

d

=2cos2θ，結合θ∈（0，

π

4

）及余弦函數的性質可求
（2）由題意可求f（

a

•

b

）=1+cos2θ，f（

c

•

d

）=f（1+2sin²θ）=1-cos2θ，結合θ∈[0，π），討論cos2θ的正負即可判斷

解答：解：∵

a

=（1，cos2θ），

b

=（2，1），

c

=（4sinθ，1），

d

=（

1

2

sinθ，1）
（1）

a

•

b

-

c

•

d

=2+cos2θ-2sin²θ-1=2cos2θ
∵θ∈（0，

π

4

）
∴2θ∈(0，

1

2

π)
∴0＜cos2θ＜1
∴0＜2cos2θ＜2
即0＜

a

•

b

-

c

•

d

＜2
（2）∵f（x）=|x-1|
∴f（

a

•

b

）=f（2+cos2θ）=|1+cos2θ|=1+cos2θ
f（

c

•

d

）=f（1+2sin²θ）=f（2-cos2θ）=|1-cos2θ|=1-cos2θ
∵θ∈[0，π）
當θ∈(0，

π

4

)∪(

3π

4

，π)時，1-cos2θ＜1+cos2θ，即f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）
當θ∈(

π

4

，

3π

4

)時，1-cos2θ＞1+cos2θ，即f（

a

•

b

）＜f（

c

•

d

）
當θ=

π

4

或

3π

4

時，1-cos2θ=1+cos2θ，即f（

a

•

b

）=f（

c

•

d

）

點評：本題主要考查了向量的數量積的坐標表示的應用及余弦函數的性質的在應用，體現了分類討論思想的應用．