Question

（滿分14分）在斜四棱柱中，已知底面是邊長為4的菱形，，且點在面上的射影是底面對角線與AC的交點O，設(shè)點E是的中點，．

   （Ⅰ） 求證：四邊形是矩形；

   （Ⅱ） 求二面角的大小；

   （Ⅲ） 求四面體的體積．[來源:學(xué)科網(wǎng)]

Answer 1

（I）略    （Ⅱ）     （Ⅲ）

解析:

解法一：（Ⅰ） 連接．

因為四邊形為菱形，

所以,又面，[所以．

而，所以．因為四邊形是平行四邊形，所以四邊形是矩形．[來源:學(xué),科,網(wǎng)]

   （Ⅱ） 連接OE，因為,所以平面，∴ ,即為二面角

E──C的平面角．在菱形中， 

又E是的中點，．所以．[來源:Zxxk.Com]

在△中，,[來源:Z。xx。k.Com]∴ ，,[來源:學(xué)科網(wǎng)]

所以在△中，有，即二面角E─BD─C的大小為．      9分

   （Ⅲ） 設(shè)點D到平面的距離為h，則有．

因為是的中點，所以14分

解法二：（Ⅰ） 連結(jié)AC、BD相交于O，連結(jié)．

由已知，有AC⊥BD，⊥面ABCD，故可建立空間直角坐標(biāo)系，

且以下各點的坐標(biāo)分別為：，  1分

設(shè), ， 3分又, 四邊形為平行四邊形．是矩形． 4分

   （Ⅱ） 設(shè),則．

， 由 可求得

∴． 設(shè)為平面EBD的法向量，

則由，得

可取 , ． 6分

平面平面BDC的法向量為，

而 ． 

∴ 二面角E─BD─C的大小為．    9分

   （Ⅲ） 設(shè)為平面的法向量，

則由 ,得

∴ 可取，．

到平面的距離 ．    11分  

而，又由（Ⅰ）知， ，

．················ 14分