Question

有一矩形鋼板ABCD缺損了一角（圖中陰影部分），邊緣線OM上每一點到點D的距離都等于它到邊AB的距離．工人師傅要將缺損的一角切割下來使剩余部分成一個五邊形，已知AB=4米，AD=2米．
（1）如圖所示建立直角坐標系，求邊緣線OM的軌跡方程；
（2）①設點P（t，m）為邊緣線OM上的一個動點，試求出點P處切線EF的方程（用t表示）；
②求AF的值，使截去的△DEF的面積最小．

Answer 1

解：（1）如圖，以O點為原點，OD所在直線為y軸，建立直角坐標系，
則D（0，1），直線AB方程為y=-1
∵OM上每一點到點D的距離都等于它到邊AB的距離，
∴OM的軌跡為以D點為焦點，以AB為直徑的拋物線的一部分，
∴OM的軌跡方程為x²=4y（0≤x≤1）
（2）①∵點P（t，m）在曲線x²=4y，∴t²=4m，m=
曲線x²=4y可化為y=，求導，得，y′=
∴曲線在點P處切線斜率k=，切線EF的方程為y-m=（x-t）
把m=代入，得，y-=（x-t）
②令切線y-=（x-t）中x=0，得，y=-
令y=1，得，x=
∴S_△DEF=|DE||DF|=（1+）（）=
∴S′_△DEF=，當t∈[0，1]時，S′_△DEF＜0
∴S_△DEF隨t的增大而減小，
∵0≤t≤1，∴當t=1時，S_△DEF有最小值為
此時F點坐標為（0，-），AF=
∴當AF=時，截去的△DEF的面積最小．
分析：（1）建立直角坐標系，利用拋物線的定義，到定點距離等于到定直線距離的點的軌跡為拋物線，可判斷OM的軌跡形狀，再利用拋物線方程的求法求出軌跡方程即可．
（2）①欲求曲線在點P處的切線方程，只需求出切線的斜率，根據切線斜率是曲線在切點處的導數，即可求出切線斜率，再用直線方程的點斜式寫出切線方程．
②利用①中所求切線方程，求出E，F兩點坐標，把三角形DEF的面積用含t的式子表示，再用導數判斷t等于何值時，面積有最小值．
點評：本題主要考查了借助圓錐曲線中的知識解決實際問題，屬于圓錐曲線的應用．