Question

已知函數f(x)=asinxcosx-

3

acos2x+

3

2

a+b
（1）當a＞0時，寫出函數的單調遞減區間；
（2）設x∈[0，

π

2

]，f（x）的最小值是-2，最大值是

3

，求實數a，b的值．

Answer 1

分析：（1）已知等式左邊提取2變形后，利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，求出正弦函數的單調遞減區間；
（2）把函數的最小值和最大值代入，列出方程組求解即可．

解答：（1）

f(x)=asinxcosx- 3 acos2x+ 3 2 a+b = a 2 sin2x- 3 2 a(1+cos2x)+ 3 2 a+b =asin(2x- π 3 )+b

因為a＞0，則由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z
則

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ，k∈Z
則函數的單調遞減區間為[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]，k∈Z
（2）當x∈[0，

π

2

]時，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
則sin(2x-

π

3

)∈[-

3

2

，1]
①當a＞0時
則有

a+b= 3 - 3 2 a+b=-2

解得

a=2 b= 3 -2

②當a＜0時
則有

a+b=-2 - 3 2 a+b= 3

解得

a=-2 b=0

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．