Question

如圖，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，則AB²=BD•BC；類似地有命題：在三棱錐A-BCD中，AD⊥面ABC，若A點在BCD內的射影為M，則有

S

2 △ABC

=S△BCM•S△BCD．上述命題是（　　）

A、真命題

B、增加條件“AB⊥AC”才是真命題

C、增加條件“M為△BCD的垂心”才是真命題

D、增加條件“三棱錐A-BCD是正三棱錐”才是真命題

Answer 1

分析：連接AE，證明AM⊥DE，AD⊥AE，由射影定理可得AE²=EM•ED，再結合三角形的面積公式可得結論．

解答：解：連接AE，則
因為AD⊥面ABC，AE?面ABC，
所以AD⊥AE．
又AM⊥DE，
所以由射影定理可得AE²=EM•ED．
于是S_△ABC²=(

1

2

BC•AM)2=

1

2

BC•EM•

1

2

BC•MD=S_△BCM•S_△BCD．
故有S_△ABC²=S_△BCM•S_△BCD．
所以命題是一個真命題．
故選A．

點評：本題考查類比推理及利用平面的性質證明空間的結論，考查空間想象能力，證明AE²=EO•ED是關鍵．