Question

若實數x、y、m滿足|x﹣m|＜|y﹣m|，則稱x比y接近m．

（1）若x²﹣1比3接近0，求x的取值范圍；

（2）對任意兩個不相等的正數a、b，證明：a²b+ab²比a³+b³接近；

（3）已知函數f（x）的定義域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1﹣sinx中接近0的那個值．寫出函數f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性（結論不要求證明）．

Answer 1

考點：

絕對值不等式的解法；其他不等式的解法．

專題：

計算題；壓軸題；新定義；轉化思想．

分析：

（1）根據新定義得到不等式|x²﹣1|＜3，然后求出x的范圍即可．

（2）對任意兩個不相等的正數a、b，依據新定義寫出不等式，利用作差法證明：a²b+ab²比a³+b³接近；

（3）依據新定義寫出函數f（x）的解析式，

直接寫出它的奇偶性、最小正周期、最小值和單調性，即可．

解答：

解：（1）|x²﹣1|＜3，0≤x²＜4，﹣2＜x＜2

x∈（﹣2，2）；

（2）對任意兩個不相等的正數a、b，

有，，

因為，

所以，

即a²b+ab²比a³+b³接近；

（3），

k∈Z，f（x）是偶函數，f（x）是周期函數，

最小正周期T=p，函數f（x）的最小值為0，

函數f（x）在區間單調遞增，

在區間單調遞減，k∈Z．

點評：

本題是新定義題目，直線審題是能夠解題的根據，新定義問題，往往是結合相關的知識，利用已有的方法求出所求結果．注意轉化思想的應用．