Question

設不等式組所表示的平面區域為，記內的整點（橫坐標、縱坐標為整數的點）的個數是.
(1)求a₁，a₂的值及數列的通項公式；
(2)設，設為數列的前n項和，求；
(3)設，求證：

Answer 1

由題意得：，一般地，當，，記直線為，與直線的交點縱坐標分別為，則，，數列的通項公式為.
（2）由（1）知，,用錯位相減法得

（3）由（1）知，，欲證，即證，
方法1：，
，
方法：數學歸納法：先證右邊當，顯然成立；
命題成立，即，當時，左邊
右邊.
綜合，當，命題右邊成立。
再證左邊
當，顯然成立；
命題成立，即，
當時，右邊
左邊.
綜合，當，命題左邊成立.
即當，命題成立.