Question

已知數列滿足：是數列的前n項和.數列前n項的積為，且
（Ⅰ）求數列，的通項公式；
（Ⅱ）是否存在常數a,使得成等差數列？若存在，求出a，若不存在，說明理由；
（Ⅲ）是否存在，滿足對任意自然數時，恒成立，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）,；（Ⅱ）不存在；（Ⅲ）.

試題分析：（Ⅰ）由條件可得數列隔項成等差數列，從而分別得到n為奇數和偶數時的通項公式，合并即得數列的通項公式.再由數列前n項的積為，由再驗證時的情況，即可得到的通項公式；（Ⅱ）先求出的表達式，再假設成等差數列，由等差中項的知識，，代入發現等式恒不成立，從而得到不存在常數a 使數列成等差數列的結論；（Ⅲ）由上問可知即證明存在，滿足對任意自然數時，，易知存在m=4使得當時，恒成立.接著用數學歸納法證明之.
試題解析：（Ⅰ）由題知，∴，∴
即數列隔項成等差數列，                          1分
又 
∴當n為奇數時，，
當n為偶數時，                   2分
∴對一切              3分
又，當時，且時滿足上式，
∴對一切                      5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，數列成等差數列，∴
∴     7分
若存在常數a，使得成等差數列，則在時恒成立
即
∴不存在常數a 使數列成等差數列                9分
（Ⅲ）存在使得當時，恒成立，
即當時，，下面用用數學歸納法證明：
①當時，.
②假設時，成立，即.
則當，，所以時，成立.
綜合①②得，成立.所以當時，.     13分