Question

已知點P（2,1）在雙曲線=1，且它和雙曲線一個焦點F的距離是1，

（1）求雙曲線的方程；

（2）過點F的直線l，交雙曲線于A、B兩點，若弦長|AB|不超過4，求l的傾斜角范圍.

Answer 1

解析：（1）設焦點F（c,0），由題意得

（-c）²+1=1,∴c=,

則點F的坐標為（,0），∴a²+b²=2.                                            ①

又∵P（,1）在雙曲線上，

∴=1.                                                                              ②

由①②得a²=1或a²=4（舍去），

∴b²=1.

從而雙曲線方程為x²-y²=1.

（2）①當直線l斜率存在時，設l:y=k(x-)代入雙曲線方程得：

（1-k²）x²+2k²x-2k²-1=0.

|AB|²=(1+k²)［(x₁+x₂)²-4x₁x₂］=≤4².

即-2≤≤2,

解得k²≤或k²≥3.

∴-≤k≤或k≤-或k≥.

∴0≤α≤或≤α＜,

＜α≤或≤α＜π.

②當直線l的斜率不存在時,容易驗證也滿足題意.此時傾斜角為.

∴l的傾斜角的范圍是［0,］∪［,］∪［,π］.