Question

（本小題滿分14分）

   已知函數R, .

（1）求函數的單調區間；

 （2）若關于的方程為自然對數的底數)只有一個實數根, 求的值.

 

Answer 1

【答案】

(1)解: 函數的定義域為.

     ∴.

 ① 當, 即時, 得,則.

  ∴函數在上單調遞增.                 ……2分

 ② 當, 即時, 令  得,

解得.                           

(ⅰ) 若, 則.

∵, ∴,∴函數在上單調遞增.… 4分

 (ⅱ)若,則時, ;

      時, ,

∴函數在區間上單調遞減,

在區間上單調遞增.…… 6分

綜上所述, 當時, 函數的單調遞增區間為;  

當時, 函數的單調遞減區間為,

單調遞增區間為  …… 8分

(2) 解: 由, 得, 化為.

令, 則.令, 得.

當時, ; 當時, .

∴函數在區間上單調遞增, 在區間上單調遞減.

∴當時, 函數取得最大值, 其值為.       …… 10分

而函數,

當時, 函數取得最小值, 其值為.      …… 12分

∴ 當, 即時, 方程只有一個根.…… 14分

 

【解析】略