Question

如下圖，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥平面ABCD，|PA|=1。

（1）BC邊上是否存在點Q，使得PQ⊥QD，并說明理由；

（2）若BC邊上存在唯一的點Q使得PQ⊥QD，指出點Q的位置，并求出此時AD與平面

PDQ所成的角的正弦值；

（3）在（2）的條件下，求二面角Q―PD―A的正弦值。

Answer 1

解：（1）若BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD，因PA⊥面ABCD知AQ⊥QD。

矩形ABCD中，當a<2時，直線BC與以AD為直徑的圓相離，故不存在點Q使AQ⊥QD，

故僅當a≥2時才存在點Q使PQ⊥QD；

（2）當a=2時，以AD為直徑的圓與BC相切于Q，此時Q是唯一的點使∠AQD為直角，且Q為BC的中點。作AH⊥PQ于H，可證∠ADH為AD與平面PDQ所成的角，且在Rt△AHD中可求得

（3）作AG⊥PD于G，可證∠AGH為二面角Q―PD―A的平面角，且在Rt△PAD中可求得