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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
設f（x）是定義在（0，1）上的函數，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，則下面關于函數f（x）判斷正確的是（　　）
分析：由已知不等式將x1、x2互換位置，可得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤2，再將其與已知式相加，得
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
+
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤4任意x1，x2∈（0，1）恒成立．再根據基本不等式，證出
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
+
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≥4恒成立，所以有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
+
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
=4，結合基本不等式取等號的條件，可得f（x1）=f（x2）對任意x1、
x2∈（0，1）恒成立．由以上結論，對照各個選項，則不難得到本題的答案．
解答：解：∵對任意x1，x2∈（0，1），恒有
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≤2，…（1）
∴將x1、x2的位置互換，可得
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤2，…（2）
（1）（2）相加，得
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
+
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≤4，…（3）
又∵對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0
∴由基本不等式，得
f(x2)
f(x1)
+
f(x1)
f(x2)
≥2且
f(1-x2)
f(1-x1)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
≥2
兩式相加，得
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
+
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
≥4…（4）
對照（3）（4），可得
f(x1)
f(x2)
+
f(1-x1)
f(1-x2)
+
f(x2)
f(x1)
+
f(1-x2)
f(1-x1)
=4任意x1，x2∈（0，1）恒成立
結合基本不等式的等號成立的條件，可得
f(x2)
f(x1)
=
f(x1)
f(x2)
=1，故f（x1）=f（x2）對任意x1，x2∈（0，1）恒成立．
由以上的結論，可得D選項正確，而C選項與D矛盾，故不正確
而A、B中的結論應該改成對任意x∈(0，
1
2
)，都有f（x）=f（1-x）
故答案為：D
點評：本題給出抽象函數和已知不等式，判斷幾個命題的真假性，著重考查了函數的自變量的對稱性、不等式的性質和基本不等式等知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）是定義在R上的奇函數，且y=f（x）的圖象關于直線x=
12
對稱，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

例2．設f（x）是定義在[-3，
2
]上的函數，求下列函數的定義域（1）y=f(
x
-2)（2）y=f(
x
a
)(a≠0)

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數，g（x）的圖象與f（x）的圖象關于直線x=1對稱，而當x∈[2，3]時，g（x）=-x2+4x-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）對任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求證：|f（x2）-f（x1）|＜2|x2-x1|；
（Ⅲ）對任意x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求證：|f（x2）-f（x1）|≤1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設f（x）是定義在R上的周期為3的周期函數，如圖表示該函數在區間（-2，1]上的圖象，則f（2013）+f（2014）=（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•內江一模）設f（x）是定義在R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x-2）=f（x+2）且當x∈[-2，0]時，f（x）=（
1
2
）x-1，若在區間（-2，6]內關于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）恰有3個不同的實數根，則a的取值范圍是
（
34
，2）
（
34
，2）
．

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