Question

設橢圓C∶(a＞0)的兩個焦點是F₁(－c，0)和F₂(c，0)(c＞0)，且橢圓C與圓x²＋y²＝c²有公共點．

(1)求a的取值范圍；

(2)(理)若橢圓上的點到焦點的最短距離為，求橢圓的方程；

(文)如果橢圓的兩個焦點與短軸的兩個端點恰好是正方形的四個頂點，求橢圓的方程；

(3)(理)對(2)中的橢圓C，直線l∶y＝kx＋m(k≠0)與C交于不同的兩點M、N，若線段MN的垂直平分線恒過點A(0，－1)，求實數m的取值范圍．

(文)過(2)中橢圓右焦點F₂且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于M、N兩點，線段MN的垂直平分線與x軸交于點Q，求點Q的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由已知，， 　　∴方程組有實數解，從而，　　3分 　　故，所以，即的取值范圍是．　　4分 　　(2)(理)設橢圓上的點到一個焦點的距離為， 　　則 　　()．　　6分 　　∵，∴當時，，　　7分 　　于是，，解得．　　9分 　　∴所求橢圓方程為．　　10分 　　(直接給出的扣3分) 　　(2)(文)由已知可得，從而，　　8分 　　所以所求橢圓方程是．　　10分 　　(3)(理)由得(*) 　　∵直線與橢圓交于不同兩點，∴△，即．　　12分 　　①設、，則、是方程(*)的兩個實數解， 　　∴，∴線段的中點為， 　　又∵線段的垂直平分線恒過點，∴， 　　即，即　　14分 　　②由①，②得，，又由②得， 　　∴實數的取值范圍是．　　16分 　　(3)(文)，由題意，直線的斜率存在且不為，設直線的方程為： 　　，由得，(*) 　　設，，則是方程(*)的兩個實數解，于是，則線段的中點為．　　12分 　　∴線段的垂直平分線的方程為， 　　在上式中令，得點的橫坐標為．　　14分 　　∴，所以點的橫坐標的取值范圍是．　　16分