Question

已知雙曲線

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上、下頂點分別為A、B，一個焦點為F（0，c）（c＞0），兩準線間的距離為1，
|AF|、|AB|、|BF|成等差數列，過F的直線交雙曲線上支于M、N兩點．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）設

MF

=λ

FN

，問在y軸上是否存在定點P，使

AB

⊥(

PM

-λ

PN

)？若存在，求出所有這樣的定點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）依題意可分別表示出|AF|，AB和BF|，進而利用三者成等差數列建立等式求得a和c的關系，進而利用準線之間的距離求得a和c的另一關系式聯立求得a和c，則b可求，進而求得雙曲線的方程．
（Ⅱ）設出直線MN的方程，先看斜率為0時與雙曲線的方程聯立可求得M和N的坐標，求得λ進而可求得

AB

，進而利用

PM

和

PN

求得

AB

•(

PM

-λ

PN

)=0，推斷出y軸上所有的點都滿足條件；再看斜率不為0時，直線方程與雙曲線的方程聯立，利用判別式大于0求得k的范圍，分別表示出

MF

，

FN

，

PM

和

PN

，進而表示出λ，然后表示出

AB

和(

PM

-λ

PN

)利用二者的乘積為0求得關系式，把λ的表達式代入，整理求得m，即P的坐標，推斷出當MN不與x軸平行時，滿足條件的定點P的坐標為（0，

1

2

）．

解答：解：（I）由已知|AF|=c-a，|AB|=2a，|BF|=c+a，
∴4a=（c-a）+（c+a），即c=2a．
又∵

2a2

c

=1，于是可解得a=1，c=2，b²=c²-a²=3．
∴雙曲線方程為y2-

x2

3

=1．
（II）設直線MN的方程為y=kx+2，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（0，m）．
①當k=0時，MN的方程為y=2，
于是由

y=2 y2- x2 3 =1

可解得M（-3，2），N（3，2），于是λ=1．
∵A（0，1），B（0，-1），∴

AB

=(0，   -2)．
∵

PM

=(-3，  2-m)，

PN

=(3，  2-m)，
∴

PM

-λ

PN

=(-6，  0)
由-6×0+（-2）×0=0，知

AB

•(

PM

-λ

PN

)=0，
即對m∈R，

AB

⊥(

PM

-λ

PN

)恒成立，
∴此時y軸上所有的點都滿足條件．
②當k≠0時，MN的方程可整理為x=

y-2

k

．
于是由

x= y-2 k y2- x2 3 =1

消去x，并整理得（1-3k²）y²-4y+3k²+4=0．
∵△=（-4）²-4（1-3k²）（3k²+4）=9k⁴+9k²＞0，
y1+y2=

4

1-3k2

＞0，y1y2=

3k2+4

1-3k2

＞0，
∴k2＜

1

3

．
∵

MF

=（-x₁，2-y₁），

FN

=（-x₂，y₂-m），

PM

=（x₁，y₁-m），

PN

=（x₂，y₂-m），
∴-x₁=λx₂，2-y₁=λ（y₂-2），
∴λ=

2-y1

y2-2

．
又∵

AB

=(0，  -2)，

PM

-λ

PN

=(x1-λx2，y1-m-λ(y2-m))，
∴0•（x₁-λx₂）+（-2）[y₁-m-λ（y₂-m）]=0，
把λ=

2-y1

y2-2

代入得y1-m-

2-y1

y2-2

(y2-m)=0，
整理得2y₁y₂-（2+m）（y₁+y₂）+4m=0，
代入得

2(3k2+4)

1-3k2

-

4(2+m)

1-3k2

+4m=0，化簡得6k²-12mk²=0，
∵k≠0，∴m=

1

2

．
即P（0，

1

2

）．
∴當MN與x軸平行時，y軸上所有的點都滿足條件；
當MN不與x軸平行時，滿足條件的定點P的坐標為（0，

1

2

）．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．