Question

已知函數f(x)=log3

x2+ax+b

x2+cx+1

，是否存在實數a、b、c，使f（x）同時滿足下列三個條件：
（1）定義域為R的奇函數；
（2）在[1，+∞）上是增函數；
（3）最大值是1．若存在，求出a、b、c；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：由f（x）是R上的奇函數，可得f（0）=0，log₃b=0，可得b的值．再利用f（-x）=-f（x），a=-c． 這時f(x)=log3

x2-cx+1

x2+cx+1

在[1，+∞）上是增函數，且最大值是1．轉化為u(x)=

x2-cx+1

x2+cx+1

在[1，+∞）上是增函數，且最大值是3．利用導數研究其單調性即可．

解答：解：由f（x）是R上的奇函數，可得f（0）=0，log₃b=0，∴b=1．
又∵f（-x）=-f（x），即log3

x2-ax+1

x2-cx+1

=-log3

x2+ax+1

x2+cx+1

，
∴

x2+1-ax

x2+1-cx

=

x2+1+cx

x2+1+ax

?(x2+1)2-a2x2=(x2+1)2-c2x2．
∴a²=c²⇒a=c或a=-c，但a=c時，f（x）=0，不合題意；故a=-c． 
這時f(x)=log3

x2-cx+1

x2+cx+1

在[1，+∞）上是增函數，且最大值是1．
設u(x)=

x2-cx+1

x2+cx+1

在[1，+∞）上是增函數，且最大值是3．
∵u′(x)=

(2x-c)(x2+cx+1)-(2x+c)(x2-cx+1)

(x2+cx+1)2

=

2c(x2-1)

(x2+cx+1)2

=

2c(x+1)(x-1)

(x2+cx+1)2

，
當x＞1時，x²-1＞0⇒u'（x）＞0，故c＞0；    
又當x＜-1時，u'（x）＞0；當x∈（-1，1）時，u'（x）＜0；
故c＞0，又當x＜-1時，u'（x）＞0，當x∈（-1，1）時，u'（x）＜0．
∴u（x）在（-∞，-1），（1，+∞）是增函數，在（-1，1）上是減函數．       
又∵x＞1時，x²-cx+1＜x²+cx+1，u（x）＜1，
∴x=-1時，u（x）最大值為3． 
∴

1+c+1

1-c+1

=3，c=1，a=-1．
經驗證：a=-1，b=1，c=1時，f（x）符合題設條件，
∴存在滿足條件的a、b、c，即a=-1，b=1，c=1．

點評：本題考查了對數函數類型的函數奇偶性、利用導數研究函數的單調性極值與最值，屬于難題．