Question

已知A（1，f'（1））是函數y=f（x）的導函數圖象上的一點，點B為（x，ln（x+1）），向量

a

=(1，1)，令f(x)=

AB

•

a

．
（1）求函數y=f（x）的表達式；
（2）若x＞0，證明：f(x)＞

2x2+3x-10

2(x+2)

；
（3）若x∈[-1，1]時，不等式

1

2

x2≤f(x2)+m2-

9

2

m-3都恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出

AB

，再由向量數量積的坐標運算法則得f（x）的解析式，求導后可得f'（1），從而可得函數y=f（x）的表達式
（2）構造新函數g(x)=f(x)-

2x2+3x-10

2(x+2)

=ln(x+1)-

2x

x+2

，利用導數只需證明函數g（x）在（0，+∞）的下界大于零即可
（3）參變分離可得m2-

9

2

m-

11

2

≥-ln(x2+1)-

x2

2

x∈[-1，1]時恒成立，下面只需求函數h(x)=-ln(x2+1)-

x2

2

的最大值即可，利用導數可求這個值，再解不等式即可求實數m的取值范圍

解答：解：（1）∵A（1，f'（1）），B（x，ln（x+1）），∴

AB

=(x-1，ln(x+1)-f′(1))
∴f（x）=ln（x+1）+x-f'（1）-1，∴f′(x)=

1

x+1

+1，∴f′(1)=

3

2

∴f(x)=ln(x+1)+x-

5

2

（2）設g(x)=f(x)-

2x2+3x-10

2(x+2)

=ln(x+1)-

2x

x+2

∴g′(x)=

1

x+1

-

4

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

＞0
在（0，+∞）上是增函數，又∵g（0）=0∴g（x）＞0，∴f(x)＞

2x2+3x-10

2(x+2)

（3）由

1

2

x2≤f(x2)+m2-

9

2

m-3得m2-

9

2

m-

11

2

≥-ln(x2+1)-

x2

2

設h(x)=-ln(x2+1)-

x2

2

，∴h′(x)=-

x(x2+3)

x2+1

∴當x∈[-1，0]時，h'（x）＞0，h（x）為遞增；
當x∈[0，1]時，h'（x）＜0，h（x）為遞減
∴h（x）_max=h（0）=0，∴m2-

9

2

m-

11

2

≥0，解得m≤-1或m≥

11

2

∴實數m的取值范圍是m≤-1或m≥

11

2

點評：本題考查了導數的計算，導數證明不等式，導數求最值的方法，解題時要耐心細致，善于構造新函數解決函數關系問題，對恒成立問題，要多加總結